如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形,且∠ABC =60°,AB=PC=2,AP=BP=.
(Ⅰ)求證:平面PAB⊥平面ABCD ;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的平面角的余弦值.
(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).
解析試題分析:(Ⅰ)要證面面垂直,需在其中一面內(nèi)找一條直線與另一面垂直,此題在面PAB內(nèi)過點P向AB作垂線,在三角形PCE中,再根據(jù)邊長關(guān)系證PE⊥CE,從而得證;(Ⅱ)法一:先找二面角的平面角,在Rt△PEC中,過點E作EF⊥PC于點F,連AF.過A作平面PCD的垂線,垂足為H,連FH,證是二面角A-PC-D的平面角,再證,在中,求的值,即得所求;法二:以AB中點E為坐標原點,EC所在直線為x軸,EB所在直線為y軸,EP所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,寫出各點空間坐標,設(shè)平面PAC與面PCD的法向量,根據(jù)條件找和法向量垂直的已知向量列方程組求法向量,再利用求法向量夾角的余弦值,即得所求.
試題解析:(Ⅰ)如圖1所示,取AB中點E,連PE、CE.
則PE是等腰△PAB的底邊上的中線,所以PE⊥AB. 2分
PE=1,CE=,PC=2,即.
由勾股定理可得,PE⊥CE. 4分
又因為ABÌ平面ABCD,CEÌ平面ABCD,
且AB∩CE=E,所以PE⊥平面ABCD. 5分
而PEÌ平面PAB,
所以平面PAB⊥平面ABCD. 7分
(Ⅱ)(方法1)如圖1,在Rt△PEC中,過點E作EF⊥PC于點F,連AF.
過A作平面PCD的垂線,垂足為H,連FH.
因為AE⊥EC,AE⊥PE,所以AE⊥平面PEC,于是AE⊥PC.
又EF⊥PC,所以PC⊥平面AEF,故PC⊥AF.
已有PC⊥AH,可得PC⊥平面AFH,所以PC⊥FH.
故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角. 10分
由AB⊥平面PEC知EF⊥AB,又AB∥CD,所以EF⊥CD.
而已有EF⊥PC,所以EF⊥平面PCD.又因為AH⊥平面PCD,所以AH∥EF.
由于AB∥平面PCD,所以A、E兩點到平面PCD的距離相等,故AH=EF.
所以AEFH是矩形,∠AFH=∠EAF 13分
在Rt△AEF中,AE=1,EF=,AF=,所以.
即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是. 14分
(方法2)以AB中點E為坐標原點,EC所在直線為x軸,EB所在直線為y軸,EP所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
則A(0,-1,0),C(,0,0),D(,-2,0),P(0,0,1),
=(,1,0),=(,0,-1),
=(0,2,0). 9分
設(shè)是平面PAC的一個法向量,
則,即.
取,可得,
. 11分
設(shè)是平面PCD的一個法向量,則,即.
取,可得,. 13分
故,即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是. 14分
考點:1、面面垂直的判定定理;2、二面角的求法.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖1,矩形中,,,、分別為、邊上的點,且,,將沿折起至位置(如圖2所示),連結(jié)、,其中.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)在線段上是否存在點使得平面?若存在,求出點的位置;若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)求點到平面的距離.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,正方形所在平面與圓所在的平面相交于,線段為圓的弦,垂直于圓所在的平面,垂足為圓上異于、的點,設(shè)正方形的邊長為,且.
(1)求證:平面平面;
(2)若異面直線與所成的角為,與底面所成角為,二面角所成角為,求證
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點M恰好是AC中點,又PA=AB=4,∠CDA=120°.
(1)求證:BD⊥PC;
(2)設(shè)E為PC的中點,點F在線段AB上,若直線EF∥平面PAD,求AF的長;
(3)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DC∥AB,∠BAD=,且AB=2AD=2DC=2PD=4,E為PA的中點.
(1)證明:DE∥平面PBC;
(2)證明:DE⊥平面PAB.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,平面,,為側(cè)棱上一點,它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示.
(1)證明:平面;
(2)在的平分線上確定一點,使得平面,并求此時的長.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,是以為直徑的半圓上異于點的點,矩形所在的平面垂直于該半圓所在平面,且
(Ⅰ).求證:;
(Ⅱ).設(shè)平面與半圓弧的另一個交點為,
①.求證://;
②.若,求三棱錐E-ADF的體積.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com