數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1+an=3•2n,則a2012=(  )
分析:先算出a2,a3,猜想出通項公式an,再利用數(shù)學歸納法證明即可.
解答:解:∵an+1+an=3•2n,a1=2,
a2+a1=3×21,解得a2=4=2n
同理a3=23
猜想an=2n
下面用數(shù)學歸納法證明:數(shù)列{an}的通項公式an=2n
(1)當n=1時,a1=21=1成立;
(2)假設當n=k∈N*時,ak=2k.下面證明ak+1=2k+1
ak+1+ak=3•2k,∴ak+1=3•2k-2k=2•2k=2k+1
∴當n=k+1時命題也成立.
綜上可知:an=2n.對于任意n∈N*都成立.
∴a2012=22012=41006
故選D.
點評:本題考查了數(shù)列的遞推式和數(shù)學歸納法,屬于難題.
練習冊系列答案
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nban-1an-1+n-1
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1
an
,n=1,2,….

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lim
n→∞
an
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(II)設bn=an-A,n=1,2,…,證明:bn+1=-
bn
A(bn+A)
;
(III)若|bn|≤
1
2n
對n=1,2,…
都成立,求a的取值范圍.

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12
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數(shù)列{an}滿足a1=
4
3
,an+1=an2-an+1(n∈N*),則m=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2013
的整數(shù)部分是(  )

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