Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²（|x|-a），求f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析：利用函數(shù)是偶函數(shù)，只需研究當(dāng)xx∈[0，2]的最大值即可，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．

解答：解：∵f（x）=|x|³-a|x|²，
∴f（x）在[-2，2]上是偶函數(shù)，則只需研究x∈[0，2]，f（x）=x³-ax²的最大值．
∵f'（x）=3x²-2ax，令f'（x）=0得x=0或x=

2a

3

．
當(dāng)

2a

3

≤0即a≤0時，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（2）=8-4a，
當(dāng)

2a

3

≥2即a≥3時，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（0）=0，
當(dāng)0＜

2a

3

＜2，即0＜a＜3時，f（x）在[0，

2a

3

]上單調(diào)遞減，f（x）在[

2a

3

，2]上單調(diào)遞增，
∴f(x)max=

8-4a，0＜a≤2 0，2＜a＜3

∴綜上f(x)max=

8-4a，a≤2 0，a＞2

．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，判斷函數(shù)是偶函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，然后利用導(dǎo)數(shù)進行求最值，注意要進行分類討論．