某企業(yè)用49萬元引進一條年產(chǎn)值25萬元的生產(chǎn)線,為維持該生產(chǎn)線正常運轉(zhuǎn),第一年需各種費用6萬元,從第二年開始包括維修費用在內(nèi),每年所需費用均比上一年增加2萬元.
(1)該生產(chǎn)線第幾年開始盈利(即總收入減去成本及所需費用之差為正值?)
(2)該生產(chǎn)線生產(chǎn)若干年后,處理方案有兩種:①年平均盈利達到最大值時,以18萬元的價格賣出;②盈利總額達到最大值時,以9萬元的價格賣出,問那一種方案較為合理,請說明理由.
分析:(1)設該生產(chǎn)線第n年開始盈利,盈利為萬元,則y=25n-[6n+
n(n-1)
2
×2
]-49=-n2+20n-49.由y>0求出最小正整數(shù)n的值.
(2)按照方案一,年平均盈利為
y
n
,利用基本不等式求出
y
n
最大時n的值,并求出盈利總額.按照方案二,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出盈利 y的最大值,進而求出盈利總額y+9的值,比較兩種方案盈利總額,結(jié)合所用的時間,作出選擇.
解答:解:(1)設該生產(chǎn)線第n年開始盈利,盈利為y萬元.
則y=25n-[6n+
n(n-1)
2
×2
]-49=-n2+20n-49.
由y=-n2+20n-49>0解得 10-
51
<n<10+
51
,再由n∈N可得,最小正整數(shù)n=3,即該生產(chǎn)線第3年開始盈利.
(2)按照方案一,年平均盈利為
y
n
=-n+20-
49
n
≤20-2
n ×
49
n
=6,當且僅當n=7,即第7年賣出,年平均盈利最大,盈利總額為6×7+18=60萬元.
按照方案二,盈利 y=-n2+20n-49=-(n-10)2+51,當且僅當n=10時,盈利總額y+9=60萬元.
兩種方案盈利總額相等,但方案二用的時間較長,故應選方案一.
點評:本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用,根據(jù)實際問題確定函數(shù)的類型,屬于中檔題.
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(1)

該生產(chǎn)線第幾年開始盈利(即總收入減去成本及所需費用之差為正值)?

(2)

該生產(chǎn)線生產(chǎn)若干年后,處理方案有兩種:

(1)年平均盈利達到最大值時,以18萬元的價格賣出;

(2)盈利總額達到最大值時,以9萬元的價格賣出.

問哪一種方案較為合理,請說明理由.

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