Question

某企業(yè)用49萬(wàn)元引進(jìn)一條年產(chǎn)值25萬(wàn)元的生產(chǎn)線，為維持該生產(chǎn)線正常運(yùn)轉(zhuǎn)，第一年需各種費(fèi)用6萬(wàn)元，從第二年開(kāi)始包括維修費(fèi)用在內(nèi)，每年所需費(fèi)用均比上一年增加2萬(wàn)元．
（1）該生產(chǎn)線第幾年開(kāi)始盈利（即總收入減去成本及所需費(fèi)用之差為正值？）
（2）該生產(chǎn)線生產(chǎn)若干年后，處理方案有兩種：①年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以18萬(wàn)元的價(jià)格賣(mài)出；②盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以9萬(wàn)元的價(jià)格賣(mài)出，問(wèn)那一種方案較為合理，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)該生產(chǎn)線第n年開(kāi)始盈利，盈利為y萬(wàn)元．
則y=25n-[6n+]-49=-n²+20n-49．
由y=-n²+20n-49＞0解得 10-＜n＜10+，再由n∈N可得，最小正整數(shù)n=3，即該生產(chǎn)線第3年開(kāi)始盈利．
（2）按照方案一，年平均盈利為=-n+20-≤20-2=6，當(dāng)且僅當(dāng)n=7，即第7年賣(mài)出，年平均盈利最大，盈利總額為6×7+18=60萬(wàn)元．
按照方案二，盈利 y=-n²+20n-49=-（n-10）²+51，當(dāng)且僅當(dāng)n=10時(shí)，盈利總額y+9=60萬(wàn)元．
兩種方案盈利總額相等，但方案二用的時(shí)間較長(zhǎng)，故應(yīng)選方案一．
分析：（1）設(shè)該生產(chǎn)線第n年開(kāi)始盈利，盈利為萬(wàn)元，則y=25n-[6n+]-49=-n²+20n-49．由y＞0求出最小正整數(shù)n的值．
（2）按照方案一，年平均盈利為，利用基本不等式求出最大時(shí)n的值，并求出盈利總額．按照方案二，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出盈利 y的最大值，進(jìn)而求出盈利總額y+9的值，比較兩種方案盈利總額，結(jié)合所用的時(shí)間，作出選擇．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定函數(shù)的類(lèi)型，屬于中檔題．