Question

{a_n}是首項(xiàng)a₁=4的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且S₃，S₂，S₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=log₂|a_n|（n≥1，n∈N），設(shè)T_n為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，分q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行求解；
（2）先寫(xiě)出b_n的表達(dá)式，進(jìn)而求出的表達(dá)式，觀察其結(jié)構(gòu)，可利用裂項(xiàng)法求出其前n項(xiàng)和T_n，最后利用不等式的性質(zhì)求解即可．
解答：解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
（1）若q=1，則S₃=12，S₂=8，S₄=16
顯然S₃，S₂，S₄不成等差數(shù)列，與題設(shè)條件矛盾，所以q≠1，（1分）
由S₃，S₂，S₄成等差數(shù)列，得，
化簡(jiǎn)得q²+q-2=0，∴q=-2，或q=1（舍去）（4分）
∴a_n=4（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹（5分）
（2）b_n=log₂|a_n|=log₂|（-2）ⁿ⁺¹|=n+1（6分）
當(dāng)n≥2時(shí)，（10分）

=1+（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列知識(shí)的應(yīng)用和數(shù)列求和的方法，也考查了不等式的知識(shí)，考查了學(xué)生的推理論證能力．