Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b₁=2的等比數(shù)列，且把S₂=16，b₁b₃=b₄．
（1）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）令c₁=1，c_2k=a_2k-1，c_2k+1=a_2k+kb_k，其中k=1，2，3，…，求數(shù)列{c_n}的前2n+1項(xiàng)和T_2n+1．

Answer 1

分析：（1）a_n=1+（n-1）d，bn=2qn-1，由b₁b₃=b₄，得q=

b4

b3

=b₁=2，由此能求出數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）T_2n+1=c₁+a₁+（a₂+b₁）+a₃+（a₄+2•b₂）+…+a_2n-1+（a_2n+nb_n）=1+S_2n+（b₁+2b₂+…+nb_n），令A(yù)=b₁+2b₂+…+nb_n，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前2n+1項(xiàng)和T_2n+1．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，
則a_n=1+（n-1）d，bn=2qn-1，
由b₁b₃=b₄，得q=

b4

b3

=b₁=2，
∴a_n=2n-1，bn=2n．
（2）T_2n+1=c₁+a₁+（a₂+b₁）+a₃+（a₄+2•b₂）+…+a_2n-1+（a_2n+nb_n）
=1+S_2n+（b₁+2b₂+…+nb_n），
令A(yù)=b₁+2b₂+…+nb_n，
則A=2+2•2²+…+n•2ⁿ，
2A=2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴A=-

2(1-2n)

1-2

+n•2n+1-2n+1+2，
∵S2n=

2n(1+a2n)

2

=4n²，
∴T2n+1=1+4n2+n•2n+1-2n+1+2
=3+4n²+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．