Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=±1處取得極值，且f（1）=-1．
（Ⅰ）求常數(shù)a，b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)x=±1處取得極值，且f（1）=-1，得到f'（1）=f'（-1）=0，f（1）=-1，代入x值后聯(lián)立方程組求解a，b，c的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的a，b，c得到函數(shù)f（x）的具體解析式，求出導(dǎo)函數(shù)后解得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，判斷出導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號(hào)，得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而得到極值點(diǎn)，并求出極值．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax³+bx²+cx，得
f'（x）=3ax²+2bx+c，由已知有f'（1）=f'（-1）=0，f（1）=-1，
即：

f′(-1)=0 f′(1)=0 f(1)=-1

⇒

3a+2b+c=0 3a-2b+c=0 a+b+c=-1

，解得：a=

1

2

，b=0，c=-

3

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

1

2

x3-

3

2

x，
∴f′(x)=

3

2

x2-

3

2

=

3

2

(x-1)(x+1)．
當(dāng)x＜-1時(shí)，或x＞1時(shí)，f'（x）＞0，
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）內(nèi)分別為增函數(shù)；
在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)．
因此，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f（-1）=

1

2

×(-1)3-

3

2

×(-1)=1；
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值f（1）=

1

2

×13-

3

2

×1=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，訓(xùn)練了方程組的解法，是中檔題．