Question

（2012•紅橋區(qū)一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，其對稱中心O到直線bx+ay-ab=0的距離為

21

3

，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設A，B是橢圓C上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P（x₀，0），求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用離心率計算公式、點到直線的距離公式、及a²=b²+c²即可得出；
（II）對直線AB的斜率分類討論，當直線AB的斜率存在且不為0時，設斜率為k，設直線AB的方程為y=kx+m．與橢圓方程聯(lián)立得到△＞0即根與系數(shù)的關系，再利用中點坐標公式即可得出線段AB的中點，進而得出垂直平分線的方程，即可得出．

解答：解：（I）由題意可得

e= c a = 2 2 ab a2+b2 = 21 3 a2=b2+c2

，解得

a2=7 b2=c2= 7 2

．
∴橢圓的方程為

x2

7

+

2y2

7

=1．
（II）①當AB∥x軸或與x軸重合時，此時k_AB=0，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P（0，0）；
②當AB⊥x軸時，此時線段AB的垂直平分線為x軸，此時不符合題意，應舍去；
③當直線AB的斜率存在且不為0時，設斜率為k，設直線AB的方程為y=kx+m．
聯(lián)立

y=kx+m x2+2y2=7

化為（1+2k²）x²+4kmx+2m²-7=0，
∵△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-7）＞0，化為

m2

1+2k2

＜

7

2

（*）．
∴x1+x2=-

4km

1+2k2

．
設線段AB的中點為M（x_M，y_M）．則x_M=

x1+x2

2

=-

2km

1+2k2

，y_M=kx_M+m=

m

1+2k2

．
線段AB的垂直平分線的方程為y=-

1

k

(x-x0)，
把點M的坐標代入可得

m

1+2k2

=-

1

k

(-

2km

1+2k2

-x0)，
化為x0=

-mk

1+2k2

，變形為m=-

x0(1+2k2)

k

，代入（*）得

x

2 0

＜

7k2

2+4k2

．
令f（k）=

7k2

2+4k2

=

7

2 k2 +4

，則0＜f(k)＜

7

4

．
∴

x

2 0

＜

7

4

．
∴-

7

2

＜x0＜

7

2

．
綜上可知：x₀的取值范圍是(-

7

2

，

7

2

)．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關系、中點坐標公式、垂直平分線的性質、點到直線的距離公式等是解題的關鍵．