已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，其左、右焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且|OP|=
15
2
，
PF1
•
PF2
=
3
4
，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．Q為橢圓的左頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)S（-
6
5
，0），且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得VQAB為等腰三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
（1）設(shè)P（x0，y0），∵|OP|=
15
2
，∴x02+y02=
15
4
①
又
PF1
•
PF2
=
3
4
，∴(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=
3
4
，即x02-c2+y02=
3
4
②
①代入②得：c=
3
．又e=
3
2
，∴a=2，b=1．
故所求橢圓方程為
x2
4
+y2=1；
（2）直線l的方程為y=k(x+
6
5
)，
聯(lián)立
y=k(x+
6
5
)
x2
4
+y2=1
，得（25+100k2）x2+240k2x+144k2-100=0．
x1+x2=-
240k2
25+100k2
，x1x2=
144k2-100
25+100k2
．
設(shè)AB的中點(diǎn)M（x0，y0），
則x0=-
120k2
25+100k2
，y0=k(
6
5
-
120k2
25+100k2
)=
30k
25+100k2
．
所以kMQ=
30k
25+100k2
2-
120k2
25+100k2
=
3k
5+8k2
．
若三角形QAB為等腰三角形，則MQ⊥AB，
即
3k
5+8k2
•k=-1，此式無解，
所以使得△QAB為等腰三角形的直線l不存在．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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