設(shè)a＞0，b＞0，已知函數(shù)f（x）=
ax+b
x+1
，且a≠b．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）已知f（
b
a
）≤f（x）≤f（
b
a
），求x的取值范圍．
分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．（2）利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合不等式進(jìn)行求解即可．
解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=
a(x+1)-(ax+b)
(x+1)2
=
a-b
(x+1)2
，
當(dāng)a＞b時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)在f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＜b時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)在f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）若f（
b
a
）≤f（x）≤f（
b
a
），
當(dāng)a＞b時(shí)，0＜
b
a
＜1，從而
b
a
＜
b
a
，由f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以
b
a
≤x≤
b
a
，即x的取值范圍為[
b
a
，
b
a
]．
當(dāng)a＜b時(shí)，
b
a
＞1，從而
b
a
＞
b
a
，由f'（x）＜0，可知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
所以此時(shí)
b
a
≤x≤
b
a
，即x的取值范圍為[
b
a
，
b
a
]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力綜合性較強(qiáng)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•湖北）設(shè)a＞0，b＞0，已知函數(shù)f（x）=
ax+b
x+1
．
（Ⅰ）當(dāng)a≠b時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，稱f（x）為a、b關(guān)于x的加權(quán)平均數(shù)．
（i）判斷f（1），f（
b
a
），f（
b
a
）是否成等比數(shù)列，并證明f（
b
a
）≤f（
b
a
）；
（ii）a、b的幾何平均數(shù)記為G．稱
2ab
a+b
為a、b的調(diào)和平均數(shù)，記為H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)a＞0，b＞0，已知函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ）當(dāng)a≠b時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，稱f（x）為a、b關(guān)于x的加權(quán)平均數(shù)．
（i）判斷f（1），f（），f（）是否成等比數(shù)列，并證明f（）≤f（）；
（ii）a、b的幾何平均數(shù)記為G．稱為a、b的調(diào)和平均數(shù)，記為H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)a＞0，b＞0，已知函數(shù)f（x）=數(shù)學(xué)公式，且a≠b．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）已知f（數(shù)學(xué)公式）≤f（x）≤f（數(shù)學(xué)公式），求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)a＞0，b＞0，已知函數(shù)f（x）=
ax+b
x+1
，且a≠b．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）已知f（
b
a
）≤f（x）≤f（
b
a
），求x的取值范圍．

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