（2013•湖北）設a＞0，b＞0，已知函數(shù)f（x）=
ax+b
x+1
．
（Ⅰ）當a≠b時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當x＞0時，稱f（x）為a、b關于x的加權平均數(shù)．
（i）判斷f（1），f（
b
a
），f（
b
a
）是否成等比數(shù)列，并證明f（
b
a
）≤f（
b
a
）；
（ii）a、b的幾何平均數(shù)記為G．稱
2ab
a+b
為a、b的調(diào)和平均數(shù)，記為H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范圍．
分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，利用導數(shù)的正負，結合分類討論，即可求得數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）（i）利用函數(shù)解析式，求出f（1），f（
b
a
），f（
b
a
），根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得到結論；
（ii）利用定義，結合函數(shù)的單調(diào)性，即可確定x的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為{x|x≠-1}，f′(x)=
a-b
(x+1)2

∴當a＞b＞0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
當0＜a＜b時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）（i）計算得f（1）=
a+b
2
，f（
b
a
）=
ab
，f（
b
a
）=
2ab
a+b
．
∵(
ab
)2=
a+b
2
×
2ab
a+b

∴f（1），f（
b
a
），f（
b
a
）成等比數(shù)列，
∵a＞0，b＞0，∴
2ab
a+b
≤
ab

∴f（
b
a
）≤f（
b
a
）；
（ii）由（i）知f（
b
a
）=
2ab
a+b
，f（
b
a
）=
ab
，
故由H≤f（x）≤G，得f（
b
a
）≤f（x）≤f（
b
a
）．
當a=b時，f（
b
a
）=f（x）=f（
b
a
）=f（1）=a，此時x的取值范圍是（0，+∞），
當a＞b時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，這時有
b
a
≤x≤
b
a
，即x的取值范圍為
b
a
≤x≤
b
a
；
當a＜b時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，這時有
b
a
≤x≤
b
a
，即x的取值范圍為
b
a
≤x≤
b
a
．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查等比數(shù)列，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湖北）如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點．
（Ⅰ）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中的直線l與圓O的另一個交點為D，且點Q滿足
DQ
=
1
2
CP
．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，二面角E-l-C的大小為β．求證：sinθ=sinαsinβ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湖北）設x，y，z∈R，且滿足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=
14
，則x+y+z=
3
14
7
3
14
7
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湖北）設n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）證明：
nr+1-(n-1)r+1
r+1
＜nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
；
（Ⅲ）設x∈R，記[x]為不小于x的最小整數(shù)，例如[2]=2，[π]=4，[-
3
2
]=-1．令S=
381
+
382
+
383
+…+
3125
，求[S]的值．
（參考數(shù)據(jù)：80
4
3
≈344.7，81
4
3
≈350.5，124
4
3
≈618.3，126
4
3
≈631.7)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湖北）i為虛數(shù)單位，設復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)對應的點關于原點對稱，若z1=2-3i，則z2=
-2+3i
-2+3i
．

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