Question

1．觀察下列三角形數(shù)表，數(shù)表（1）是楊輝三角數(shù)表，數(shù)表（2）是與數(shù)表（1）有相同構(gòu)成規(guī)律（除每行首末兩端的數(shù)外）的一個(gè)數(shù)表

對(duì)于數(shù)表（2），設(shè)第n行第二個(gè)數(shù)為a_n（n∈N^*）（如a₁=2，a₂=4，a₃=7）
（I ）歸納出a_n與a_n-1（n≥2，n∈N^*）的遞推公式（不用證明），并由歸納的遞推公式，求出{a_n}的通項(xiàng)公式a_n
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足：（a_n-1）•b_n=1，求證：b₁+b₁+…+b_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）歸納a_n=a_n-1+n，利用迭代法即可求出通項(xiàng)公式，
（Ⅱ）求出b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n-1}$），利用裂項(xiàng)求和和放縮法即可證明．

解答 解：（Ⅰ）依題意當(dāng)n≥2時(shí)可歸納a_n=a_n-1+n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，a₁=2，
∴a_n=n+（n-1）+…+2+2=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$+2=$\frac{1}{2}$（n²+n）+1，
檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{1}{2}$（n²+n）+1，
（Ⅱ）∵（a_n-1）•b_n=1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n-1}$），
∴b₁+b₁+…+b_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n-1}$）]=2（-1$\frac{1}{n+1}$）＜2

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，放縮法，證明不等式，考查計(jì)算能力．