Question

2．已知$f（x）=2+log_2^x，x∈[{\frac{1}{4}，4}]$，試求y=[f（x）]²+f（x²）的值域[1，13]．

Answer 1

分析 根據(jù)$x∈[\frac{1}{4}，4]$，求出y=[f（x）]²+f（x²）的定義域，利用換元法求解值域．

解答 解：由題意，$x∈[\frac{1}{4}，4]$，
則f（x²）的定義域?yàn)閇$\frac{1}{2}$，2]，
故得函數(shù)y=[f（x）]²+f（x²）的定義域?yàn)閇$\frac{1}{2}$，2]．
∴y=（2+log₂x）²+2+2log₂x．
令log₂x=t，（-1≤t≤1）．
則y=（2+t）²+2t+2=t²+6t+6．
開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸t=-3．
∴當(dāng)t=-1時(shí)，y取得最小值為1．
當(dāng)t=1時(shí)，y取得最大值為13，
故得函數(shù)y的值域?yàn)閇1，13]．
故答案為[1，13]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的定義域的求法和利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題求解值域的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．