Question

13．如圖，橢圓E的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁且斜率為$\frac{4}{3}$的直線交橢圓E于P，Q兩點，若△PF₁F₂為直角三角形，則橢圓E的離心率為$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 分類討論：①當PF₂⊥x軸時，可得P（c，$\frac{^{2}}{a}$），直線的斜率為$\frac{4}{3}$，⇒$\frac{^{2}}{2ca}=\frac{4}{3}$
②當PF₁⊥PF₂時，設|PF₁|=m，|PF₂|=n，$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2a}\\{\frac{n}{m}=\frac{4}{3}}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.$即可．

解答 解：分類討論：①當PF₂⊥x軸時，可得P（c，$\frac{^{2}}{a}$）
∵直線的斜率為$\frac{4}{3}$，⇒$\frac{^{2}}{2ca}=\frac{4}{3}$
化為3b²=8ac=3a²-3c²，∴3e²+8e-3=0，1＞e＞0，e=$\frac{1}{3}$．
②當PF₁⊥PF₂時，設|PF₁|=m，|PF₂|=n，
$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2a}\\{\frac{n}{m}=\frac{4}{3}}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.$化為14c=10a，
解得e=$\frac{5}{7}$．
綜上可知：橢圓的離心率為：$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{7}$
故答案為：$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{7}$

點評 本題考查了橢圓的定義與性質(zhì)、分類討論、直角三角形的邊角關(guān)系等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．