【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),過點P(-2,-4)的直線l: (t為參數(shù))與曲線C相交于M,N兩點.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求實數(shù)a的值.
【答案】見解析
【解析】(1)把代入ρsin2θ=2acos θ,得y2=2ax(a>0),
由 (t為參數(shù)),消去t得x-y-2=0,
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程分別是
y2=2ax(a>0),x-y-2=0.
(2)將 (t為參數(shù))代入y2=2ax,
整理得t2-2 (4+a)t+8(4+a)=0.
設(shè)t1,t2是該方程的兩根,
則t1+t2=2 (4+a),t1·t2=8(4+a),
∵|MN|2=|PM|·|PN|,
∴(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1·t2=t1·t2,
∴8(4+a)2-4×8(4+a)=8(4+a),
∴a=1.
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【題目】如圖,已知橢圓C的中心在原點,其一個焦點與拋物線y2=4x的焦點相同,又橢圓C上有一點M(2,1),直線l平行于OM且與橢圓C交于A,B兩點,連接MA,MB.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)MA,MB與x軸所構(gòu)成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時,求直線l在y軸上截距的取值范圍.
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【題目】如圖,過點的直線與圓相交于兩點,過點且與垂直的直線與圓的另一交點為.
(1)當(dāng)點坐標(biāo)為時,求直線的方程;
(2)求四邊形面積的最大值.
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【題目】如圖,某市新體育公園的中心廣場平面圖如圖所示,在y軸左側(cè)的觀光道曲線段是函數(shù),時的圖象且最高點B(-1,4),在y軸右側(cè)的曲線段是以CO為直徑的半圓弧.
(1)試確定A,和的值;
(2)現(xiàn)要在右側(cè)的半圓中修建一條步行道CDO(單位:米),在點C與半圓弧上的一點D之間設(shè)計為直線段(造價為2萬元/米),從D到點O之間設(shè)計為沿半圓弧的弧形(造價為1萬元/米).設(shè)(弧度),試用來表示修建步行道的造價預(yù)算,并求造價預(yù)算的最大值?(注:只考慮步行道的長度,不考慮步行道的寬度)
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【題目】每逢節(jié)假日,在微信好友群中發(fā)紅包逐漸成為一種時尚,還能增進(jìn)彼此的感情,2016年春節(jié)期間,小魯在自己的微信好友群中,向在線的甲、乙、丙、丁四位好友隨機發(fā)放紅包,發(fā)放的規(guī)則為:每次發(fā)放一個,小魯自己不搶,每個人搶到的概率相同.
(1)若小魯隨機發(fā)放了3個紅包,求甲至少搶到一個紅包的概率;
(2)若丁因有事暫時離線一段時間,而小魯在這段時間內(nèi)共發(fā)了3個紅包,其中2個紅包中各有10元,一個紅包中有5元.設(shè)這段時間內(nèi)乙所得紅包的總錢數(shù)為元,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知,∈[1,+∞).
(1)當(dāng)時,判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)的最小值;
(3)若對任意∈[1,+∞),>0恒成立,試求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點,A(2,0),B(0,1)是它的兩個頂點,直線y=kx(k>0)與AB相交于點D,與橢圓相交于E、F兩點.
(1)若=6,求k的值;
(2)求四邊形AEBF面積的最大值.
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【題目】現(xiàn)從某班的一次期末考試中,隨機的抽取了七位同學(xué)的數(shù)學(xué)(滿分150分)、物理(滿分110分)成績?nèi)缦卤硭,?shù)學(xué)、物理成績分別用特征量表示,
特征量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
t | 101 | 124 | 119 | 106 | 122 | 118 | 115 |
y | 74 | 83 | 87 | 75 | 85 | 87 | 83 |
求關(guān)于t的回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析數(shù)學(xué)成績的變化對物理成績的影響,并估計該班某學(xué)生數(shù)學(xué)成績130分時,他的物理成績(精確到個位).
附:回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
.
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【題目】設(shè)P、Q為兩個非空集合,定義集合P+Q={m+n| m∈P,n∈Q},若P={0,2,5}, Q={1,2,6},則P+Q中元素的個數(shù)為 ( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
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