Question

11．已知a，b，c都是正實(shí)數(shù)，a+b+c=1．
（1）求證：a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$；
（2）求證$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≥9．

Answer 1

分析 （1）利用立方和公式和基本不等式證明；
（2）把a(bǔ)+b+c=1代入$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$，再利用基本不等式得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵a，b，c都是正實(shí)數(shù)，
∴a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
以上各式相加得2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac，
∴3a²+3b²+3c²≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）²=1，
a²+b²+c²≥$\frac{1}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)．
（2）∵a+b+c=1．
∴$\frac{a}+\frac{a}$≥2，$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}$≥2，$\frac{c}+\frac{c}$≥2，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$=$\frac{a+b+c}{a}$+$\frac{a+b+c}$+$\frac{a+b+c}{c}$=3+$\frac{a}+\frac{a}$+$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}$+$\frac{c}+\frac{c}$≥3+2+2+2=9．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的證明，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．