Question

10．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，則四面體A-BCD的外接球的體積為（　�。�

• A． $\frac{125}{12}$π
• B． $\frac{125}{9}$π
• C． $\frac{125}{6}$π
• D． $\frac{125}{3}$π

Answer 1

分析 矩形ABCD中，由AB=4，BC=3，DB=AC=5，球心一定在過(guò)O且垂直于△ABC的直線上，也在過(guò)O且垂直于△DAC的直線上，這兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)O 因此球半徑R=2.5，由此能求出四面體ABCD的外接球的體積．

解答 解：矩形ABCD中，
∵AB=4，BC=3，
∴DB=AC=5，
設(shè)DB交AC與O，則O是△ABC和△DAC的外心，
球心一定在過(guò)O且垂直于△ABC的直線上，
也在過(guò)O且垂直于△DAC的直線上，這兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)O
因此球半徑R=2.5，
四面體ABCD的外接球的體積：
V=$\frac{4}{3}$×π×（2.5）³=$\frac{125π}{6}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體ABCD的外接球的體積的計(jì)算，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．