Question

已知圓C在x軸上的截距為-1和3，在y軸上的一個(gè)截距為1，若過點(diǎn)（2，

3

-1）的直線l被圓C截得的弦AB的長為4，則直線l的傾斜角為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：首先，根據(jù)題意，求解該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后，分情況進(jìn)行討論，從而得到結(jié)果．

解答： 解：設(shè)A（-1，0），B（3，0），D（0，1），
則AB中垂線為x=1，AD中垂線為y=-x，
∴圓心C（x，y）滿足

x=1 y=-x

，
∴C（1，-1），
∴半徑r=|CD|=

1+4

=

5

，
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y+1）²=5； 
當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l：x=2到圓心的距離為1，亦滿足題意，直線l的傾斜角為90°；
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）+

3

-1，由弦長為4，
∴圓心（1，-1）到直線l的距離為

5-4

=1，
∴

|k(1-2)+1+ 3 -1|

1+k2

=1，
∴k=

3

3

，
此時(shí)直線l的傾斜角為30°，
綜上所述，直線l的傾斜角為30°或90°
故答案為：30°或90°．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了直線與圓的位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的斜率公式等知識，屬于中檔題．解題關(guān)鍵是正確求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．