Question

已知等邊三角形ABC的邊長為2，⊙A的半徑為1，PQ為⊙A的任意一條直徑，則

BP

•

CQ

-

AP

•

CB

=

1

．

Answer 1

分析：先根據向量的三角形法則得到

BP

•

CQ

-

AP

•

CB

=(

AP

-

AB

)•(

AQ

-

AC

)-

AP

•(

AB

-

AC

)，再結合

AQ

=-

AP

以及等邊三角形ABC的邊長為2，⊙A的半徑為1即可得到答案．

解答：解：由于

BP

•

CQ

-

AP

•

CB

=(

AP

-

AB

)•(

AQ

-

AC

)-

AP

•(

AB

-

AC

)，
而

AQ

=-

AP

，
則

BP

•

CQ

-

AP

•

CB

=(

AP

-

AB

)•(-

AP

-

AC

)-

AP

•(

AB

-

AC

)=-

AP

2+

AB

•

AC

∵

AB

•

AC

=|

AB

||

AC

|cos∠BAC=2，

AP

2=|

AP

|2=1
∴

BP

•

CQ

-

AP

•

CB

=-

AP

2+

AB

•

AC

=1．
故答案為：1．

點評：本題主要考查向量知識在幾何中的應用問題．一般在求解此類問題時，常用三角形法則或平行四邊形法則把問題轉化．