Question

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)減函數(shù)
（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x₁＜x₂≤0，則-x₁＞-x₂≥0，利用f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)的性質(zhì)得出不等式，再由偶函數(shù)的性質(zhì)即可得出f（x₁）＞f（x₂），再由定義即可得出單調(diào)性；
（2）由于函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，故可以分兩類來(lái)解這個(gè)不等式，即lgx＜0與lgx＞0兩類來(lái)討論．

解答：解：（1）證明：設(shè)x₁＜x₂≤0，則-x₁＞-x₂≥0
∵f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
∴f（-x₁）＞f（-x₂）
又定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）
∴f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂），f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)減函數(shù)
（2）當(dāng)0＜x≤1時(shí)，lgx＜0
由f（1）＜f（lgx）得f（-1）＜f（lgx），函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上時(shí)單調(diào)減函數(shù)
∴-1＞lgx，0＜x＜

1

10

當(dāng)x≥1時(shí)，lgx＞0
由f（1）＜f（lgx），f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
∴l(xiāng)gx＞1，x＞10
綜上所述，x的取值范圍是(0，

1

10

]∪?[10，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合，求解問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)的性質(zhì)并能用這些性質(zhì)進(jìn)行靈活變形轉(zhuǎn)化證明問(wèn)題．本題中的函數(shù)是抽象函數(shù)，故證明問(wèn)題時(shí)要注意依據(jù)題設(shè)靈活轉(zhuǎn)化．本題中的易錯(cuò)點(diǎn)是第二問(wèn)求解時(shí)易丟掉一部分解，做題時(shí)要注意考慮完善．