Question

9．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°且AB=AA₁=2，E，F(xiàn)分別是CC₁，BC的中點．
（1）求證：EF⊥平面AB₁F；
（2）求銳二面角B₁-AE-F的余弦值；
（3）若點M是AB上一點，求|FM|+|MB₁|的最小值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AF⊥EF，B₁F⊥EF，由此能證明EF⊥平面AB₁F．
（2）過點F作FP⊥AE，連結(jié)B₁P，則∠B₁PF就是二面角B₁-AE-F的平面角，由此能求出銳二面角B₁-AE-F的余弦值．
（3）∴將側(cè)面BB₁A沿BA展開為BAO，使得BAO與平面BAC共面時，|FM|+|MB₁|的最小值為OF，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，
∠BAC=90°且AB=AA₁=2，E，F(xiàn)分別是CC₁，BC的中點，
∴由條件知AF⊥平面CC₁BB₁，∴AF⊥EF，
由勾股定理得B₁F=$\sqrt{6}$，EF=$\sqrt{3}$，B₁E=3，
∵${B}_{1}{E}^{2}={{B}_{1}F}^{2}+E{F}^{2}$，∴B₁F⊥EF，
又∵B₁F∩AF=F，
∴EF⊥平面AB₁F．
解：（2）過點F作FP⊥AE，連結(jié)B₁P，
∵EA⊥PF，EA⊥B₁F，∴EA⊥平面B₁PF，∴EA⊥B₁P，
∴∠B₁PF就是二面角B₁-AE-F的平面角，
由題意得PF=$\frac{\sqrt{30}}{5}$，B₁P=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠B₁PF=$\frac{PF}{{B}_{1}P}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴銳二面角B₁-AE-F的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
（3）∵點M是AB上一點，
∴將側(cè)面BB₁A沿BA展開為BAO，
使得BAO與平面BAC共面時，|FM|+|MB₁|的最小值為OF，
在△BFO中，BF=$\sqrt{2}$，BO=2，∠FBO=135°，
∴OF=$\sqrt{2+4-2×2×\sqrt{2}×cos135°}$=$\sqrt{10}$．
∴|FM|+|MB₁|的最小值為$\sqrt{10}$．

點評 本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定及二面角的平面角的求法，其中在求二面角時，找出二面角的平面角是解答本題的關(guān)鍵