Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=2sin(2x-

π

3

)(x∈R)，有以下命題
（1）y=f(x-

π

12

)為偶函數(shù)；      
（2）y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

5π

12

對(duì)稱；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]的值域?yàn)?span id="lthfjca" class="MathJye">[-

3

，

3

]；
（4）y=f（x）在[-

π

2

，

π

2

]的減區(qū)間是[-

π

2

，-

π

12

]和[

5π

12

，

π

2

]．
其中正確命題的序號(hào)為

（1）（2）（4）

．

Answer 1

分析：把函數(shù)f(x)=2sin(2x-

π

3

)中的x替換為x-

π

12

，化簡整理后即可判斷函數(shù)y=f(x-

π

12

)的奇偶性；
把x=

5π

12

代入函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)能否取得最值判斷y=f（x）的圖象是否關(guān)于直線x=

5π

12

對(duì)稱；
直接由x∈[0，

π

2

]，求解函數(shù)f(x)=2sin(2x-

π

3

)的值域，從而能判斷命題（3）的真假；
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)f(x)=2sin(2x-

π

3

)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)k的取值，求得函數(shù)f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的減區(qū)間．由以上分析即可得到正確答案．

解答：解：由f(x)=2sin(2x-

π

3

)，得：y=f(x-

π

12

)=2sin[2(x-

π

12

)-

π

3

]=2sin(2x-

π

2

)=-2cos2x，
函數(shù)的定義域?yàn)镽，且-2cos2（-x）=-2cos2x，∴函數(shù)y=f(x-

π

12

)為偶函數(shù)，∴命題（1）正確；
把x=

5π

12

代入f(x)=2sin(2x-

π

3

)，得：f(

5π

12

)=2sin(2×

5π

12

-

π

3

)=2sin

π

2

=2，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

5π

12

對(duì)稱，∴命題（2）正確；
由0≤x≤

π

2

，得：-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，∴-1≤2sin(2x-

π

3

)≤2，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]的值域?yàn)閇-1，2]，∴命題（3）錯(cuò)誤；
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），得：

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ（k∈Z），
取k=-1，得：-

7π

12

≤x≤-

π

12

，取k=0，得：

5π

12

≤x≤

11π

12

．
∴y=f（x）在[-

π

2

，

π

2

]的減區(qū)間是[-

π

2

，-

π

12

]和[

5π

12

，

π

2

]，∴命題（4）正確．
所以，正確的命題為（1）（2）（4）．
故答案為（1）（2）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了判斷命題真假，比較綜合的考查了三角函數(shù)的一些性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)的理解與掌握，若能借助于單位圓中的三角函數(shù)線處理該題，將會(huì)使問題簡潔化，此題屬中檔題．