Question

5．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin2x+2，cosx），\overrightarrow n=（1，2cosx）$，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在$（{-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$上的值域；
（2）在△ABC中，若f（A）=4，b=4，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）運用向量數(shù)量積的坐標表示和二倍角公式及兩角和的正弦公式，及正弦函數(shù)的圖象和性質，即可得到所求；
（2）運用特殊角的正弦函數(shù)值，求得A，再由三角形的面積公式，可得c，再由余弦定理可得a．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin2x+2，cosx），\overrightarrow n=（1，2cosx）$，
函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=2+$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x=3+$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=3+2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
可得函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
x∈$（{-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$，即有2x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
則在$（{-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$上的值域為（2，5]；
（2）在△ABC中，若f（A）=4，b=4，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，
可得3+2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=4，即sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
由0＜A＜π，可得$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
可得2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即A=$\frac{π}{3}$，
由$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$•4c•sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$c，
解得c=1，
則a²=b²+c²-2bccosA=16+1-8×$\frac{1}{2}$=13，
即a=$\sqrt{13}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，平面向量數(shù)量積的坐標表示，以及正弦函數(shù)的圖象和性質，以及三角形的面積公式和余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．