Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)（1，1）與（，）兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|．求證：++為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）把（1，1）與（，）兩點(diǎn)代入橢圓方程解出即可．
（II）由|MA|=|MB|，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對(duì)稱性知A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)；同理，若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M在橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)；直接代入計(jì)算即可．
②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y=kx（k≠0），則直線OM的方程為，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓的方程聯(lián)立解出坐標(biāo)，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．
解答：解析（Ⅰ）將（1，1）與（，）兩點(diǎn)代入橢圓C的方程，
得解得．
∴橢圓PM₂的方程為．
（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對(duì)稱性知A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，此時(shí)
=．
同理，若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M在橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)，此時(shí)
=．
②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y=kx（k≠0），
則直線OM的方程為，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由解得，，
∴=，同理，
所以=2×+=2，
故=2為定值．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等