Question

（1）證明：cos2α+cos2β=2cos（α+β）cos（α-β）；
（2）在△ABC中，若A=

π

3

，求sin²B+sin²C的最大值．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù),余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）左邊=cos2α+cos2β=cos[（α+β）+（α-β）]+cos[（α+β）-（α-β）]，由和差角公式展開化簡可得；
（2）由三角形知識易得C=

2π

3

-B，B∈（0，

2π

3

），化簡可得sin²B+sin²C=1+

1

2

sin（2B-

π

6

），由三角函數(shù)最值可得．

解答： （1）證明：左邊=cos2α+cos2β
=cos[（α+β）+（α-β）]+cos[（α+β）-（α-β）]
=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）
+cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）
=2cos（α+β）cos（α-β）=右邊，
原式得證；
（2）∵在△ABC中，A=

π

3

，∴C=

2π

3

-B，
∴B∈（0，

2π

3

），
∴sin²B+sin²C=sin²B+sin²（

2π

3

-B）
=sin²B+（

3

2

cosB+

1

2

sinB）²
=

5

4

sin²B+

3

2

sinBcosB+

3

4

cos²B
=

5

4

•

1-cos2B

2

+

3

2

•

1

2

sin2B+

3

4

•

1+cos2B

2

=1+

3

4

sin2B-

1

4

cos2B=1+

1

2

sin（2B-

π

6

）
∵B∈（0，

2π

3

），∴2B-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

），
∴當2B-

π

6

=

π

2

時，上式取到最大值

3

2

點評：本題考查三角恒等式的證明和三角函數(shù)的值域，涉及三角形的邊角關(guān)系，屬中檔題．