Question

設函數(shù)f（x）=4^x-m•2^x（m∈R）．
（Ⅰ）當m≤1時，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（Ⅱ）記g（x）=lgf（x），若g（x）在區(qū)間（0，1）上有意義，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：指數(shù)型復合函數(shù)的性質(zhì)及應用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）當m≤1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)．運用單調(diào)性的定義證明，注意取值、作差、變形和定符號、下結論幾個步驟；
（Ⅱ）由于g（x）在區(qū)間（0，1）上有意義，則f（x）＞0，即4^x-m•2^x＞0在（0，1）上恒成立，運用參數(shù)分離和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出值域，即可得到m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當m≤1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)．
設0＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=4x1-m•2x1-（4x2-m•2x2）
=（4x1-4x2）-m（2x1-2x2）=（2x1-2x2）（2x1+2x2-m）．
由于0＜x₁＜x₂＜1，則1＜2x1＜2x2＜2，
又m≤1，則2x1+2x2-m＞0，
則（2x1-2x2）（2x1+2x2-m）＜0，
即有f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)；
（Ⅱ）由于g（x）在區(qū)間（0，1）上有意義，
則f（x）＞0，即4^x-m•2^x＞0在（0，1）上恒成立，
即m＜2^x在（0，1）上恒成立，
由于2^x∈（1，2），
則有m≤1．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，考查對數(shù)的真數(shù)大于0，考查不等式恒成立問題轉化為求范圍，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．