Question

已知數(shù)列具有性質(zhì)：①為正數(shù)；②對于任意的正整數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，
（1）若，求數(shù)列的通項公式；
（2）若成等差數(shù)列，求的值；
(3)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：

Answer 1

（1）；(2) 2；（3）證明見試題解析．

試題分析：（1）由于64不算大，可以依次計算出，因為按照定義，，而此開始，故可得出通項公式；（2）顯然必須是整數(shù)，而且要計算，因此我們可以根據(jù)的值分類討論（分成四類）．（3）
要證不等式，最好能求出，那么也就要求出數(shù)列的各項，那么我們根據(jù)數(shù)列定義，由為奇數(shù)，則為偶數(shù)，為奇數(shù)，接下來各項都是偶數(shù)，一起到某項為1，下面一項為0，以后全部為0．實際上項為1的項是第項，且時，
時，因此是最大的，但在計算時，要注意當(dāng)時，，只要它不為0，就可繼續(xù)下去．
試題解析：（1）由，可得，，…，，，，，…，
即的前7項成等比數(shù)列，從第8起數(shù)列的項均為0．　（2分）
故數(shù)列的通項公式為．　    （4分）
（2）若時，，，
由成等差數(shù)列，可知即，解得，故；(舍去)
若時，，，
由成等差數(shù)列，可知，解得，故；(舍去)（3分）
若時，，，
由成等差數(shù)列，可知，解得，故；
若時，，，
由成等差數(shù)列，可知，解得，故；(舍去)
∴的值為2．                          （6分）
（3）由（），可得，
，，
若，則是奇數(shù)，從而，
可得當(dāng)時，成立．            （3分）
又，，…
故當(dāng)時，；當(dāng)時，．           （5分）
故對于給定的，的最大值為

，
故．                      （8分）項和與最大值．