Question

5．過點(diǎn)P（1，t）作曲線y=x³-3x的切線，若這樣的切線恰好能做2條，則實(shí)數(shù)t的值為-3或-2．

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)為（a，a³-3a），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線的斜率k=f′（a），利用點(diǎn)斜式寫出切線方程，將點(diǎn)AP代入切線方程，可得關(guān)于a的方程有兩個(gè)不同的解，利用參變量分離可得2a³-3a²=-3-t，令g（x）=2x³-3x²，利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的單調(diào)性和極值，則根據(jù)y=g（x）與y=-3-t有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即可得到實(shí)數(shù)t的值．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)為（a，a³-3a），
∵f（x）=x³-3x，
∴f'（x）=3x²-3，
∴切線的斜率k=f′（a）=3a²-3，
由點(diǎn)斜式可得切線方程為y-（a³-3a）=（3a²-3）（x-a），
∵切線過點(diǎn)P（1，t），
∴t-（a³-3a）=（3a²-3）（1-a），即2a³-3a²=-3-t，
∵過點(diǎn)P（1，t）可作曲線y=f（x）的切線恰好能做2條，
∴關(guān)于a的方程2a³-3a²=-3-t有兩個(gè)不同的根，
令g（x）=2x³-3x²，
∴g′（x）=6x²-6x=0，解得x=0或x=1，
當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=0時(shí)，g（x）取得極大值g（0）=0，
當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極小值g（1）=-1，
關(guān)于a的方程2a³-3a²=-3-t有兩個(gè)不同的根，等價(jià)于y=g（x）與y=-3-t的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴-3-t=-1或-3-t=0，
∴t=-2或t=-3．
故答案為：-3或-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時(shí)要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)能力要求較高．屬于中檔題．