Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+（a-1）x+1．
（1）函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）關(guān)于x的不等式

f(x)+a-1

x

≥2在x∈[1，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意知，

a＜0 - a-1 2a ≥-1

，從而解得；
（2）故關(guān)于x的不等式

f(x)+a-1

x

≥2在x∈[1，2]上恒成立可化為ax²+（a-3）x+a≥0在x∈[1，2]上恒成立；從而化為函數(shù)的最值問題．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+（a-1）x+1在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，
∴

a＜0 - a-1 2a ≥-1

，
解得，a≤-1；
（2）不等式

f(x)+a-1

x

≥2可化為ax²+（a-3）x+a≥0；
故關(guān)于x的不等式

f(x)+a-1

x

≥2在x∈[1，2]上恒成立可化為
ax²+（a-3）x+a≥0在x∈[1，2]上恒成立；
故a+a-3+a≥0；
故a≥1；
此時(shí)，-

a-3

2a

=-

1

2

+

3

2a

≤1；
故ax²+（a-3）x+a在[1，2]上是增函數(shù)，
故只需使a+a-3+a≥0；
故a≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．