Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ （a＞b＞0）的四個頂點所構(gòu)成的菱形面積為6，且橢圓的焦點通過拋物線y=x²-8與x軸的交點．
（l）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點，若AD⊥BD，且D（3，0），求△ABD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由y=x²-8，令y=0，解得x，可得c，利用a²-b²=c²，及其得$4×\frac{1}{2}$ab=6，解出即可得出．
（2）不妨設(shè)直線AB的方程x=ky+m，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立可得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0，由AD⊥BD，可得$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)可得m．利用S_△ABD=$\frac{1}{2}|DE|$|y₁-y₂|，即為二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由y=x²-8，令y=0，得x=±2$\sqrt{2}$，則c=2$\sqrt{2}$，
∴a²-b²=8　　�、伲�
又由題意，得$4×\frac{1}{2}$ab=6，即ab=3　�、冢�
由①②解得a=3，b=1，
故橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1．
（2）不妨設(shè)直線AB的方程x=ky+m，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0，
則y₁+y₂=$\frac{-2km}{{k}^{2}+9}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-9}{{k}^{2}+9}$．
∵AD⊥BD，
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=0，．
$\overrightarrow{DA}$=（x₁-3，y₁），$\overrightarrow{DB}$=（x₂-3，y₂），得（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．
∴（k²+1）y₁y₂+k（m-3）（y₁+y₂）+（m-3）²=0，
將 ①代入上式，解得m=$\frac{12}{5}$或m=3（舍）．
∴$m=\frac{12}{5}$（此時直線AB經(jīng)過定點E$（\frac{12}{5}，0）$，與橢圓有兩個交點）．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}|DE|$|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}×$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{9}{5}$$\sqrt{\frac{25（{k}^{2}+9）-144}{25（{k}^{2}+9）^{2}}}$．
設(shè)t=$\frac{1}{{k}^{2}+9}$，$0＜t≤\frac{1}{9}$，則
S_△ABD=$\frac{9}{5}$$\sqrt{-\frac{144}{25}{t}^{2}+t}$，
∴當t=$\frac{25}{288}$∈$（0，\frac{1}{9}]$時，S_△ABD取得最大值$\frac{3}{8}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、三角形面積計算公式、斜率垂直與數(shù)量積的運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．