Question

15．已知曲線C₁：$\frac{|x|}{a}$+$\frac{|y|}$=1（a＞b＞0）所圍成的封閉圖形的面積為4$\sqrt{5}$，曲線C₁的內(nèi)切圓半徑為$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，記C₂為以曲線C₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓．
（1）求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)AB是過橢圓C₂中心O的任意弦，M是橢圓上一點(diǎn)，且滿足（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）•$\overrightarrow{AB}$=0，求△AMB的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{4×\frac{1}{2}ab=4\sqrt{5}}\\{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{3}}\end{array}\right.$，a＞b＞0，解得a，b即可得出．
（2）設(shè)直線AB的斜率存在且不為0，方程為y=kx．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，解得可得|AB|=$2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．由于滿足（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）•$\overrightarrow{AB}$=0，可得MO⊥AB．可得直線OM的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x．同理可得|OM|．利用S_△AMB=$\frac{1}{2}$|OM||AB|及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．當(dāng)k=0時(shí)，S_△AMB=$\frac{1}{2}×2a×b$．當(dāng)k不存在時(shí)，S_△AMB=$\frac{1}{2}×2b×a$，直接得出．

解答 解：（1）∵曲線C₁：$\frac{|x|}{a}$+$\frac{|y|}$=1（a＞b＞0）所圍成的封閉圖形的面積為4$\sqrt{5}$，曲線C₁的內(nèi)切圓半徑為$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4×\frac{1}{2}ab=4\sqrt{5}}\\{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{3}}\end{array}\right.$，a＞b＞0，解得a=$\sqrt{5}$，b=2．
由C₂為以曲線C₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）設(shè)直線AB的斜率存在且不為0，方程為y=kx．A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{20}{4+5{k}^{2}}$，${y}^{2}=\frac{20{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$．
∴|AB|=$2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$4\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}}$．
∵滿足（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）•$\overrightarrow{AB}$=0，∴$2\overrightarrow{MO}$$•\overrightarrow{AB}$=0，∴MO⊥AB．可得直線OM的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{20{k}^{2}}{5+4{k}^{2}}$，${y}^{2}=\frac{20}{4{k}^{2}+5}$，|MO|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$2\sqrt{5}$×$\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{4{k}^{2}+5}}$．
∴S_△AMB=$\frac{1}{2}$|OM||AB|=$\frac{1}{2}×$$2\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{4{k}^{2}+5}}$×$4\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}}$=20$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{（4{k}^{2}+5）（4+5{k}^{2}）}}$≥20$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{（\frac{4{k}^{2}+5+4+5{k}^{2}}{2}）^{2}}}$=$\frac{40}{9}$，當(dāng)且僅當(dāng)k²=1時(shí)取等號(hào)．
當(dāng)k=0時(shí)，S_△AMB=$\frac{1}{2}×2a×b$=2$\sqrt{5}$$＞\frac{40}{9}$．
當(dāng)k不存在時(shí)，S_△AMB=$\frac{1}{2}×2b×a$=2$\sqrt{5}$＞$\frac{40}{9}$．
綜上可得：△AMB的面積的最小值是$\frac{40}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、三角形面積計(jì)算公式、相互垂直的直線斜率關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．