Question

已知函數(shù)，且．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，若，證明:.

 

Answer 1

（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）對(duì)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=，再分a的正負(fù)討論a、a+a2和a2的大小關(guān)系，即可得到f（x）單調(diào)性的兩種情況，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）原不等式進(jìn)行化簡，等價(jià)變形得．因此轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，而，通過研究分子對(duì)應(yīng)二次函數(shù)在區(qū)間上的取值，可得h'（x）＜0在x∈上恒成立，因此在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，從而得到原不等式成立．

試題解析：【解析】
（1）由題，

.

令，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030306030774615543/SYS201503030603132307536746_DA/SYS201503030603132307536746_DA.014.png">故.

當(dāng)時(shí)，因且所以上不等式的解為,

從而此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，因所以上不等式的解為，

從而此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增.

同理此時(shí)在上單調(diào)遞減.

（2）（方法一）要證原不等式成立，只須證明，

只須證明.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030306030774615543/SYS201503030603132307536746_DA/SYS201503030603132307536746_DA.024.png">所以原不等式只須證明，

函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減. 8分

由（1）知，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030306030774615543/SYS201503030603132307536746_DA/SYS201503030603132307536746_DA.027.png">，

我們考察函數(shù),.

因，

所以.

從而知在上恒成立，

所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減.

從而原命題成立

（方法二）要證原不等式成立，只須證明，

只須證明.

又，

設(shè)，

則欲證原不等式只須證明函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減

由（1）可知

.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015030306030774615543/SYS201503030603132307536746_DA/SYS201503030603132307536746_DA.040.png">，所以在上為增函數(shù)，

所以.

從而知在上恒成立，

所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減.

從而原命題成立.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.不等式的證明．