Question

設(shè)△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，A、B∈(0，

π

2

)，若b=a•cos（A+B）．
（1）求證：tanB=

tanA

2tan2A+1

；
（2）當(dāng)tanB取最大值時(shí)，求cotC的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，利用兩角和的余弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡b=a•cos（A+B）得到即可；
（2）把tanB變形，利用基本不等式求出最大值時(shí)tanA的值，然后利用兩角和的正切公式求出tan（A+B），利用誘導(dǎo)公式得到tanC即可得到cotC．

解答：解：（1）由正弦定理，sinB=sinA•（cosAcosB-sinAsinB）=sinA•cosA•cosB-sin²AsinB?（1+sin²A）sinB=sinA•cosAcosB?tanB=

sinA•cosA

1+sin2A

=

sinAcosA

2sin2A+cos2A

=

tanA

2tan2A+1

（2）tanB=

1

2tanA+ 1 tanA

≤

1

2 2

(∵A∈(0，

π

2

))
當(dāng)且僅當(dāng)2tanA=

1

tanA

即tanA=

2

2

時(shí)，tanB的最大值

2

4

此時(shí)，tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

2 2 + 2 4

1- 2 2 • 2 4

=

2

∵tan(A+B)=-tanC?tanC=-

2

∴cotC=-

2

2

．

點(diǎn)評：考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定理解決數(shù)學(xué)問題，靈活運(yùn)用兩角和與差的正切、余弦函數(shù)公式，會進(jìn)行三角恒等式的證明．