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4.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)上一點P(1,32)與橢圓右焦點的連線垂直于x軸,直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(均不在坐標軸上).
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設O為坐標原點,若△AOB的面積為3,試判斷直線OA與OB的斜率之積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由.

分析 (1)由題意可知:橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)焦點在x軸上,c=1,則a2=b2+1,將P(1,32)代入橢圓方程,即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
(2)將直線方程代入橢圓方程,由△>0,求得m2<4k2+3.則丨x1-x2丨=x1+x224x1x2=434k2+3m24k2+3,則S△OAB=12•|m|•|x1-x2|=12•|m|•434k2+3m24k2+3=3,即可求得4k2-m2=m2-3,kOA•kOB=y2y1x1x2=-344k2m2m23=-34,直線OA與OB的斜率之積為定值-34

解答 解:(1)由題意知:橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)焦點在x軸上,c=1,則a2=b2+1,

由P(1,32)在橢圓上,則12+1+942=1,解得:b2=3,則a2=4,
∴橢圓C的標準方程:x24+y23=1;
(2)設點A(x1,y1),B(x2,y2),
{y=kx+mx24+y23=1,整理得:(4k2+3)2+8kmx+4m2-12=0,
由△=(8km)2-16(4k2+3)(m2-3)>0,得m2<4k2+3.
∵x1+x2=-8km4k2+3,x1x2=4m2124k2+3,
丨x1-x2丨=x1+x224x1x2=8km4k2+324×4m2124k2+3=434k2+3m24k2+3
∴S△OAB=12•|m|•|x1-x2|=12•|m|•434k2+3m24k2+3=3
化簡得4k2+3-2m2=0,滿足△>0,
從而有4k2-m2=m2-3,
∴kOA•kOB=y2y1x1x2=k2x1+mx2+mx1x2=12k2+3m24m212=-344k2m2m23,由上式,得4k2m2m23=1,
∴kOA•kOB=-34,
∴直線OA與OB的斜率之積為定值-34

點評 本題考查橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達定理,弦長公式,三角形面積公式與直線的斜率公式的綜合應用,考查計算能力,屬于中檔題.

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