Question

10．如圖，以矩形ABCD的一邊AB為直徑的半圓與對邊CD相切，E為BC的中點，P為半圓弧上任意一點．若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AD}$+μ$\overrightarrow{AE}$，則λ-μ的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 建立直角坐標系，求得$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AP}$，根據(jù)向量$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AD}$+μ$\overrightarrow{AE}$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=2μ}\\{y=λ+\frac{1}{2}μ}\end{array}\right.$，設(shè)2μ-1=cosθ，λ+$\frac{1}{2}$μ=cosθ，θ∈[0，π]，分別求得λ和μ，表示出λ-μ，根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，即可求得λ-μ的最大值．

解答 解：以A為坐標原點，$\overrightarrow{AB}$所在的直線為x軸，$\overrightarrow{AD}$所在的直線為y軸，
設(shè)圓的半徑為1，則點D（0，1），E（2，$\frac{1}{2}$），P（x，y），
則（x-1）²+y²=1，
$\overrightarrow{AD}$=（0，1），$\overrightarrow{AE}$=（2，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AP}$=（x，y），
$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AD}$+μ$\overrightarrow{AE}$，即（x，y）=λ（0，1）+μ（2，$\frac{1}{2}$），
整理得：（x，y）=（2μ，λ+$\frac{1}{2}$μ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2μ}\\{y=λ+\frac{1}{2}μ}\end{array}\right.$，
設(shè)：2μ-1=cosθ，λ+$\frac{1}{2}$μ=cosθ，θ∈[0，π]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{μ=\frac{1}{2}cosθ+\frac{1}{2}}\\{λ=sinθ-\frac{1}{4}cosθ-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
λ-μ=sinθ-$\frac{1}{4}$cosθ-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$，
=sinθ-$\frac{3}{4}$cosθ-$\frac{3}{4}$，
=$\frac{5}{4}$sin（θ-φ）-$\frac{3}{4}$，tanφ=$\frac{3}{4}$，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當θ-φ=$\frac{π}{2}$時取最大值，最大值為$\frac{5}{4}$-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$，
故選B．

點評 本題考查了向量的線性運算、圓的標準方程、圓的參數(shù)方程，三角函數(shù)的化簡和求值，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．