Question

19．平面上有A（2，-1），B（1，4），D（4，-3）三點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB上，且$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，連接DC延長(zhǎng)至E，使|$\overrightarrow{CE}$|=$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{ED}$|，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，-7）．

Answer 1

分析 先設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$列出方程組求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；再根據(jù)題意得出$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{CE}$，利用向量相等列出方程組求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：∵設(shè)點(diǎn)C（x，y），∴$\overrightarrow{AC}$=（x-2，y+1），$\overrightarrow{BC}$=（x-1，y-4），
又$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2=\frac{1}{2}（x-1）}\\{y+1=\frac{1}{2}（y-4）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，-6）；
又連接DC延長(zhǎng)至E，使|$\overrightarrow{CE}$|=$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{ED}$|，
∴$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{CE}$，
設(shè)點(diǎn)E（x，y），則$\overrightarrow{DC}$=（-1，-3），$\overrightarrow{CE}$=（x-3，y+6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3（x-3）=-1}\\{3（y+6）=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=-7}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，-7）．
故答案為：（$\frac{8}{3}$，-7）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與應(yīng)用問題，也考查了方程組的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．