Question

8．設(shè)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，則準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)B在以A，C為直徑的圓上，則|AF|-|BF|=4．

Answer 1

分析 通過設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），設(shè)直線l方程為x=my+1并與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可知y₁+y₂=4m、y₁y₂=-4，通過點(diǎn)B在以A，C為直徑的圓上可知$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{FB}$=0，化簡計(jì)算可知${{y}_{2}}^{2}$=4$\sqrt{5}$-8，進(jìn)而可知x₂=$\sqrt{5}$-2、x₁=$\sqrt{5}$+2，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，F(xiàn)（1，0），C（-1，0），且直線l的斜率不為0，
設(shè)直線l方程為：x=my+1，并與拋物線方程聯(lián)立，
消去x，整理得：y²-4my-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∵點(diǎn)B在以A，C為直徑的圓上，
∴$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$=0，即$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{FB}$=0，
∴${{x}_{2}}^{2}$-1+${{y}_{2}}^{2}$=0，即$\frac{1}{4}$${{y}_{2}}^{4}$+${{y}_{2}}^{2}$-1=0，
解得：${{y}_{2}}^{2}$=4$\sqrt{5}$-8或${{y}_{2}}^{2}$=-4$\sqrt{5}$-8（舍），
∴x₂=$\frac{1}{4}$${{y}_{2}}^{2}$=$\sqrt{5}$-2，
又∵y₁y₂=-4，
∴x₁=$\frac{1}{4}$${{y}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{16}{{{y}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{5}$+2，
∴|AF|-|BF|=（x₁+1）-（x₂+1）
=x₁-x₂
=（$\sqrt{5}$+2）-（$\sqrt{5}$-2）
=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．