Question

17．設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且${S_n}=\frac{1}{3}n{a_n}+{a_n}-c$（c是常數(shù)，n∈N*），a₂=6．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）證明：$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＜\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系、等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用裂項求和和放縮法證明即可．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{3}$na_n+a_n-c，
當n=1時，a₁=S₁=$\frac{1}{3}$a₁+a₁-c，
解得a₁=3c，
當n=2，S₂=$\frac{2}{3}$a₂+a₂-c，
即a₁+a₂=$\frac{2}{3}$a₂+a₂-c，
解得a₂=6c，∴6c=6，
解得c=1．
則a₁=3，數(shù)列{a_n}的公差d=6-3=3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n．
（2）證明：∵$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{9n（n+1）}$=$\frac{1}{9}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{9}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{9}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{9}$．

點評 本題考查了遞推關系、“裂項求和”“放縮法”、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．