Question

8．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≤0\\ 2x-y-3≥0\end{array}\right.$，若目標函數(shù)z=ax+2by（a＞0，b＞0）在該約束條件下的最小值為2，則$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值為9．

Answer 1

分析 首先根據(jù)約束條件求出使得目標函數(shù)z=ax+2by（a＞0，b＞0）在該約束條件下的最小值為2的x，y值，得到a，b的等式，利用基本不等式求最小值．

解答 解：由題意變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≤0\\ 2x-y-3≥0\end{array}\right.$，
對應(yīng)的區(qū)域如圖，可得在A（2，1）處z取得最小值，所以2a+2b=2，即a+b=1，
所以$\frac{1}{a}+\frac{4}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）（a+b）
=5+$\frac{a}+\frac{4a}$≥5+2$\sqrt{4}$=9，
當且僅當$\frac{a}=\frac{4a}$時等號成立．
故答案為：9

點評 本題考查了簡單線性規(guī)劃問題與基本不等式結(jié)合，正確求出關(guān)于a，b的等式是解答的前提，對所求正確變形，利用基本不等式求最小值是關(guān)鍵．