已知函數(shù)f(x)=
sinx
3cosx
-x(0<x<
π
2
).
(Ⅰ)求f′(
π
4
)

(Ⅱ)求證:不等式sin3x>x3cosx在x∈(0,
π
2
)
上恒成立;
(Ⅲ)求g(x)=
1
sin2x
-
1
x2
x∈(0,
π
4
]
的最大值.
分析:(Ⅰ)求出導(dǎo)函數(shù)f′(x),直接令x=
π
4
,代入求值即可.
(Ⅱ)觀察不等式與函數(shù)解析式的關(guān)系,只需證明f(x)在(0,
π
2
)
f(x)>=0,.利用導(dǎo)數(shù)考察單調(diào)性及最值,作出證明.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知sin3x-x3cosx>0在x∈(0,
π
4
]
上恒成立.則g′(x)=
2(sin3x-x3cosx)
x3sin3x
>0x∈(0,
π
4
]
上恒成立. 即g(x)在x∈(0,
π
4
]
單調(diào)遞增,最大值可求.
解答:(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)∵f′(x)=
cosx
3cosx
-sinx(
3cosx
)′
3cos2x
-1=
3cos2x+sin2x
3cosx
3cosx
-1
=cos
2
3
x+
1
3
sin2xcos-
4
3
x-1
…(3分)
f′(
π
4
)=cos
2
3
π
4
+
1
3
sin2
π
4
cos-
4
3
π
4
-1=
2
3
34
-1
…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=cos
2
3
x+
1
3
sin2xcos-
4
3
x-1
,其中f(0)=0
令G(x)=f'(x),則G′(x)=
2
3
cos-
1
3
x•(-sinx)+
1
3
[2sinxcosxcos-
4
3
x+sin2x•(-
4
3
)•cos-
7
3
x•(-sinx)]

=
4
9
sin3xcos-
7
3
x>0
x∈(0,
π
2
)
上恒成立
故G(x)在(0,
π
2
)
上為增函數(shù),故f′(x)>f′(0)=0,…(8分)
所以f(x)在(0,
π
2
)
上為增函數(shù),故f(x)>f(0)=0,
即sin3x>x3cosx,…(10分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知sin3x-x3cosx>0在x∈(0,
π
4
]
上恒成立.
則g′(x)=
2(sin3x-x3cosx)
x3sin3x
>0在x∈(0,
π
4
]
上恒成立.   …(12分)
即g(x)在x∈(0,
π
4
]
單調(diào)遞增
于是g(x)max=g(
π
4
)=2-
16
π2
…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算,考查導(dǎo)數(shù)工具證明不等式,考查函數(shù)最值的求解,充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax+bsinx,當(dāng)x=
π
3
時(shí),取得極小值
π
3
-
3

(1)求a,b的值;
(2)對(duì)任意x1x2∈[-
π
3
,
π
3
]
,不等式f(x1)-f(x2)≤m恒成立,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)直線l:y=g(x),曲線S:y=F(x),若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn);②對(duì)任意x∈R都有g(shù)(x)≥F(x),則稱直線l與曲線S的“上夾線”.觀察下圖:

根據(jù)上圖,試推測(cè)曲線S:y=mx-nsinx(n>0)的“上夾線”的方程,并作適當(dāng)?shù)恼f(shuō)明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-blnx在(1,2]是增函數(shù),g(x)=x-b
x
在(0,1)為減函數(shù).
(1)求b的值;
(2)設(shè)函數(shù)φ(x)=2ax-
1
x2
是區(qū)間(0,1]上的增函數(shù),且對(duì)于(0,1]內(nèi)的任意兩個(gè)變量s、t,f(s)≥?(t)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=cos( 2x+
π
3
)+sin2x.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,滿足2
AC
CB
=
2
ab,c=2
2
,f(A)=
1
2
-
3
4
,求△ABC的面積S.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知矩陣A=
a2
1b
有一個(gè)屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
,
①求矩陣A;
②已知矩陣B=
1-1
01
,點(diǎn)O(0,0),M(2,-1),N(0,2),求△OMN在矩陣AB的對(duì)應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積.
(2)已知在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
 t
(t為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρco sθ+3=0.
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
②設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離的取值范圍.
(3)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|.
①求不等式f(x)≥3的解集;
②若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-a在R上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a
2x
+xlnx
,g(x)=x3-x2-x-1.
(1)如果存在x,x∈[0,2],使得g(x)-g(x)≥M,求滿足該不等式的最大整數(shù)M;
(2)如果對(duì)任意的s,t∈[
1
3
,2],都有f(s)≥g(t)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案