Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的右焦點為F₂，O為坐標原點，M為y軸上一點，點A是直線MF₂與橢圓C的一個交點，且|OA|=|OF₂|=2|OM|，則橢圓C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 取橢圓的左焦點為F₁，連接AF₁，依題意可得$∠{F}_{1}A{F}_{2}=9{0}^{0}$．△F₁AF₂∽△MOF₂，⇒$\frac{A{F}_{1}}{A{F}_{2}}=\frac{OM}{O{F}_{2}}=\frac{1}{2}$，由$A{{F}_{1}}^{2}+A{{F}_{2}}^{2}={F}_{1}{{F}_{2}}^{2}$⇒$（\frac{2a}{3}）^{2}+（\frac{4a}{3}）^{2}=（2c）^{2}$
即可求解．

解答 解：如圖，取橢圓的左焦點為F₁，連接AF₁，
依題意：|OA|=|OF₂|=2|OM|=c，可得$∠{F}_{1}A{F}_{2}=9{0}^{0}$．
△F₁AF₂∽△MOF₂，⇒$\frac{A{F}_{1}}{A{F}_{2}}=\frac{OM}{O{F}_{2}}=\frac{1}{2}$，
∵AF₁+AF₂=2a，∴$A{F}_{1}=\frac{2a}{3}，A{F}_{2}=\frac{4a}{3}$．
由$A{{F}_{1}}^{2}+A{{F}_{2}}^{2}={F}_{1}{{F}_{2}}^{2}$⇒$（\frac{2a}{3}）^{2}+（\frac{4a}{3}）^{2}=（2c）^{2}$
$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{9}$，∴$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$．
則橢圓C的離心率為：$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故選：D

點評 本題考查橢圓的離心率，考查橢圓定義的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．