Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2x+

π

3

)+2cos2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期及遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-

π

3

，

π

3

]上值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦函數(shù)公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用正弦函數(shù)的正確直接求函數(shù)f（x）的周期，通過正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）通過[-

π

3

，

π

3

]，求出相位的范圍，通過正弦函數(shù)值域求解即可．

解答：解：函數(shù)f(x)=cos(2x+

π

3

)+2cos2x
=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+cos2x+1
=

3

2

cos2x-

3

2

sin2x+1
=1-

3

sin（2x-

π

3

）．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的周期T=π，
由∵

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
∴

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，k∈Z
所以y=1-

3

sin（2x-

π

3

）的單調(diào)增區(qū)間是[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，∴2x-

π

3

∈[-π，

π

3

]，
∴-1≤sin（2x-

π

3

）≤

3

2

，
函數(shù)f（x）在[-

π

3

，

π

3

]上值域為：[-

1

2

，

3

+1]．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．