Question

已知數(shù)列具有性質(zhì)：①為整數(shù)；②對(duì)于任意的正整數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.

（1）若為偶數(shù)，且成等差數(shù)列，求的值；

（2）設(shè)(且N)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；

（3）若為正整數(shù)，求證：當(dāng)(N)時(shí)，都有.

 

Answer 1

【答案】

(1) 0或2；（2）證明見試題解析；（3）證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)，為偶數(shù)，要，這時(shí)要求，必須討論的奇偶性，分類討論；（2）要證不等式，最好能求出，那么也就要求出數(shù)列的各項(xiàng)，那么我們根據(jù)數(shù)列定義，由為奇數(shù)，則為奇數(shù)，為偶數(shù)，接下來各項(xiàng)都是偶數(shù)，一起到某項(xiàng)為1，下面一項(xiàng)為0，以后全部為0．實(shí)際上項(xiàng)為1的項(xiàng)是第項(xiàng)（成等比數(shù)列），故可求；（3）由于是正整數(shù)，要證明從某一項(xiàng)開始，數(shù)列各項(xiàng)均為0，這提示我們可首先證明為非負(fù)（這可用數(shù)學(xué)歸納法加以證明），然后由于數(shù)列的關(guān)系，可見數(shù)列在出現(xiàn)0之前，是遞減的，下面要考慮的是遞減的速度而已．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，因此對(duì)所有正整數(shù)，都有，依此類推有，只要，則有．

試題解析：（1）∵為偶數(shù)，∴可設(shè)，故，

若為偶數(shù)，則，由成等差數(shù)列，可知，

即，解得，故；    （2分）

若為奇數(shù)，則，由成等差數(shù)列，可知，

即，解得，故；

∴的值為0或2．      （4分）

（2）∵是奇數(shù)，∴，

，，依此類推，

可知成等比數(shù)列，且有，

又，，，

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，都有．        （3分）

故對(duì)于給定的，的最大值為

，所以．  （6分）

（3）當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，必為非負(fù)整數(shù)．證明如下：

當(dāng)時(shí)，由已知為正整數(shù)， 可知為非負(fù)整數(shù)，故結(jié)論成立；

假設(shè)當(dāng)時(shí)，為非負(fù)整數(shù)，若，則；若為正偶數(shù)，

則必為正整數(shù)；若為正奇數(shù)，則必為非負(fù)整數(shù)．

故總有為非負(fù)整數(shù)．　　　　　　（3分）

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．

故總有，所以，

當(dāng)時(shí)，，即．（ 6分）

又必為非負(fù)整數(shù)，故必有．　　　　（8分）

【另法提示：先證“若為整數(shù)，且，則也為整數(shù)，且”，然后由是正整數(shù)，可知存在正整數(shù)，使得，由此推得，，及其以后的項(xiàng)均為０，可得當(dāng)時(shí)，都有】

考點(diǎn)：（1）遞推數(shù)列與等差數(shù)列；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）數(shù)列的通項(xiàng)與綜合問題．