Question

已知函數(shù)f（x）=log₂x+log_x2^k在[2，4]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A、1≤k≤4
• B、k≤1
• C、k≥4
• D、k≤1或k≥4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先用換底公式求出f（x）=log2x+

k

log2x

，求f′（x）=

log22x-k

xlog22x•ln2

，所以根據(jù)題意便有，k≤log²₂x，或k≥log²₂x，在[2，4]上恒成立，根據(jù)函數(shù)log²₂x在[2，4]上的最大值，最小值即可求出k的取值范圍．

解答： 解：f（x）=log2x+

k

log2x

；
∴f′（x）=

log22x-k

xlog22x•ln2

；
∵f（x）在[2，4]上是單調(diào)函數(shù)；
∴k≤log²₂x，或k≥log²₂x在[2，4]上恒成立；
log²₂x在[2，4]上的最小值為1，最大值為4；
∴k≤1，或k≥4．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：考查對(duì)數(shù)的換底公式，單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的取值情況，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，注意正確求導(dǎo)．