Question

10．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=1，a_n=3S_n-1+4（n≥2）．
（1）求數列{a_n}的通項公式，
（2）令b_n=log₂$\frac{{a}_{n+2}}{7}$，c_n=$\frac{_{n}}{{2}^{n+1}}$，其中n∈N₊，記數列{c_n}的前項和為T_n，是否存在k∈N₊，使得T_n≥T_k恒成立，若存在這樣的k的值，請求出；若不存在這樣的k的值，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用條件，再寫一式，兩式相減，即可求數列{a_n}的通項公式，
（2）求出數列的通項，利用錯位相減法求和，即可得出結論．

解答 解：（1）∵a_n=3S_n-1+4（n≥2），
∴a₂=7，a_n+1=3S_n+4
兩式相減得：a_n+1=4a_n，
∴a_n=7×4^n-2（n≥2），
此式對n=1不成立，所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{7×{4}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．-----------------（4分）
（2）b_n=log₂$\frac{{a}_{n+2}}{7}$=2n，c_n=$\frac{_{n}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，--------------（5分）
∴T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$①
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$②
①-②得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$--------------------------------（9分）
∴T_n-T_n-1=$\frac{n}{{2}^{n}}$＞0，所以T_n是遞增的，所以T_n≥T₁恒成立，
所以k=1．----------------------------（12分）

點評 本題考查數列的通項與求和，考查錯位相減法的運用，確定數列的通項是關鍵．