Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，a≠0
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，通過討論a，直接讓導(dǎo)函數(shù)大于0求出增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0求出減區(qū)間即可；
（Ⅱ）直接利用切線的斜率即為切點處的導(dǎo)數(shù)值以及切點是直線與曲線的共同點聯(lián)立方程即可求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）先求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，分情況討論出函數(shù)在區(qū)間[1，e]上的單調(diào)性，進(jìn)而求得其在區(qū)間[1，e]上的最小值．

解答 解：（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{a（2-x）}{{x}^{3}}$，
a＞0時，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞），
a＜0時，f′（x）＜0⇒0＜x＜2，f′（x）＞0⇒x＜0，或x＞2，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2），單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞），
（Ⅱ）設(shè)切點為（x，y），
由切線斜率k=1=$\frac{a（2-x）}{{x}^{3}}$，⇒x³=-ax+2a，①
由x-y-1=x-$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$-1=0⇒（x²-a）（x-1）=0⇒x=1，x=±$\sqrt{a}$．
把x=1代入①得a=1，
把x=$\sqrt{a}$代入①得a=1，
把x=-$\sqrt{a}$代入①得a=-1（舍去），
故所求實數(shù)a的值為1．
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x²f（x）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，解lnx+1-a=0得x=e^a-1，
故g（x）在區(qū)間（e^a-1，+∞）上遞增，在區(qū)間（0，e^a-1）上遞減，
①當(dāng)e^a-1≤1時，即0＜a≤1時，g（x）在區(qū)間[1，e]上遞增，其最小值為g（1）=0；
②當(dāng)1＜e^a-1＜e時，即1＜a＜2時，g（x）的最小值為g（e^a-1）=a-e^a-1；
③當(dāng)e^a-1≥e，即a≥2時，g（x）在區(qū)間[1，e]上遞減，其最小值為g（e）=e+a-ae．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是高考的�？碱}型．