Question

11．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中點，M是邊AC（含端點）上的動點．
（1）若∠BAC=60°，求|$\overrightarrow{BC}$|的值；
（2）若$\overrightarrow{BM}$⊥$\overrightarrow{CN}$，求cosA的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理可得：$|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$=3²+4²-2×3×4cos60°，解得即可．
（2）設(shè)$\overrightarrow{AM}$=t$\overrightarrow{AC}$（0≤t≤1）.$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}$=$t\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CN}$=$\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$．由于$\overrightarrow{BM}⊥\overrightarrow{CN}$，可得$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{CN}$=0．化為：-16t+12$（\frac{t}{2}+1）$cos∠BAC-$\frac{9}{2}$=0，整理可得：cos∠BAC=$\frac{32t+9}{12（t+2）}$=$\frac{1}{12}（32-\frac{55}{t+2}）$=f（t），（0≤t≤1）．利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）利用余弦定理可得：$|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$=3²+4²-2×3×4cos60°=13，解得$|\overrightarrow{BC}|$=$\sqrt{13}$．
（2）設(shè)$\overrightarrow{AM}$=t$\overrightarrow{AC}$（0≤t≤1）.$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}$=$t\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CN}$=$\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$．
∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{CN}$=（$t\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$-t{\overrightarrow{AC}}^{2}$+$（\frac{t}{2}+1）$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$．
∵$\overrightarrow{BM}⊥\overrightarrow{CN}$，∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{CN}$=$-t{\overrightarrow{AC}}^{2}$+$（\frac{t}{2}+1）$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=0．
化為：-16t+12$（\frac{t}{2}+1）$cos∠BAC-$\frac{9}{2}$=0，
整理可得：cos∠BAC=$\frac{32t+9}{12（t+2）}$=$\frac{1}{12}（32-\frac{55}{t+2}）$=f（t），（0≤t≤1）．
由于f（t）是[0，1]是的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f（0）≤f（t）≤f（1），即$\frac{3}{8}$≤f（t）≤$\frac{41}{26}$，即$\frac{3}{8}$≤cosA≤$\frac{41}{36}$，∵A∈（0，π），
∴cosA＜1，∴cosA的取值范圍是$[\frac{3}{8}，1）$．

點評 本題考查了余弦定理、向量的三角形法則、向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．