Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）設(shè)f（x）的最小值為g（a），證明：．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
而，
∵a＞0，x＞-1，∴當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，
當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）的最小值
為，a＞0．
要證明，
只須證明成立．
設(shè)，x∈（0，+∞）．
則，
∴φ（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，∴φ（x）＞φ（0）=0，即．
取得到成立．
設(shè)ψ（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，+∞），同理可證ln（x+1）＜x．
取得到成立．因此，．
分析：（I）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0原函數(shù)單調(diào)遞減可得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）的最小值為，a＞0，構(gòu)造函數(shù)設(shè)，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證明結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以此為主線(xiàn)，貫穿其中．但對(duì)以上第二個(gè)問(wèn)題的解答，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，這是函數(shù)這一章節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，屬難題．