Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²-2x+$\frac{1}{2}$，g（x）=x+$\frac{1}{x}$，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|g（x）-g（y）＞0}，則從M中隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)A，則A落在N中的概率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 首先分別求出區(qū)域M，N的面積，由幾何概型的公式，利用面積比求概率．

解答 解：由已知f（x）+f（y）=x²-2x+$\frac{1}{2}$+y²-2y+$\frac{1}{2}$
=（x-1）²+（y-1）²-1≤0，
所以M：=（x-1）²+（y-1）²≤1，是圓心為（1，1）
，半徑為1 的圓面，面積為π，g（x）-g（y）
=x+$\frac{1}{x}$-y-$\frac{1}{y}$＞0，整理得N：（x-y）（xy-1）＞0，
對(duì)應(yīng)區(qū)域如圖陰影部分，
由于圖形的對(duì)稱性，S₁=S₂，所以N對(duì)應(yīng)區(qū)域面積為半圓面積$\frac{π}{2}$，由幾何概型的公式得到從M中隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)A，則A落在N中的概率為：$\frac{\frac{π}{2}}{π}=\frac{1}{2}$；
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型的概率公式運(yùn)用；關(guān)鍵是明確對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積，利用面積比求得概率．